Web Toolbar by Wibiya

Senin, 16 Januari 2012

Probabilitas


Dari modul yang ditulis Dra. Yuni Astuti, MS

Pengertian Probabilitas dan Manfaat Probabilitas

Pengertian Probabilitas

Probabilitas adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 dan dinyatakan dalam desimal (misalnya: 0,65) atau dalam persentase (65%). Probabilitas 0 menunjukkan peristiwa yang tidak mungkin terjadi. Probabilitas satu menunjukkan peristiwa yang pasti terjadi. Maka probabilitas dapat didefinisikan sebagai peluang suatu kejadian.

Manfaat Probabilitas

Membantu dalam pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian dan informasi yang tidak sempurna. Contoh :
  • Pembelian harga saham berdasarkan analisis harga saham.
  • Peluang produk yang dihasilkan perusahaan (sukses atau tidak )

Dalam Probabilitas ada 3 hal yang penting yaitu percobaan (experiment), hasil (out come) dan peristiwa (event). Percobaan adalah aktivitas yang menghasilkan suatu peristiwa. Misalnya: kegiatan melempar uang, akan menghasilkan peristiwa muncul gambar atau angka. Hasil adalah suatu hasil dari suatu percobaan tersebut, yaitu muncul gambar atau angka. Sedangkan peristiwa adalah hasil yang terjadi dari suatu kejadian.

Pendekatan Terhadap Probabilitas

Untuk menentukan tingkat probabilitas ada 3 pendekatan yaitu : pendekatan klasik, pendekatan relatif dan pendekatan subjektif.

Pendekatan Klasik

Pendekatan klasik mengasumsikan bahwa sebuah peristiwa mempunyai kesempatan untuk terjadi yang sama (equally likely). Probabilitas suatu peristiwa dinyatakan sebagai ratio antara jumlah kemungkinan hasil (peristiwa) dengan total kemungkinan hasil.
         
         

Pendekatan Relatif

Besar probabilitas suatu peristiwa tidak dianggap sama, tetapi tergantung pada berapa banyak suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan atau kegiatan yang dilakukan.
Pada kegiatan AFI 3 didapatkan 1000 pemirsa TV yang mengirim SMS untuk memilih bintang idolanya, sehingga didapatkan probabilitas relatif sebagai berikut :
 Jadi pendekatan relatif mendasarkan besarnya probabilitas pada banyaknya suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan, kegiatan atau pengamatan yang dilakukan.

Pendekatan Subyektif

Pendekatan Subyektif adalah menentukan besarnya probabilitas suatu peristiwa didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan dalam derajat kepercayaan.

Penilaian Subyektif diberikan karena terlalu sedikit atau tidak ada informasi yang diperoleh atau berdasarkan keyakinan. Contoh : Menurut  masyarakat, penggemar AFI   mulai menurun pada tahun 2006.

Konsep Dasar dan Hukum Probabilitas

Probabilitas kejadian dilambangkan dengan P, apabila kejadian jual saham dinyatakan dengan huruf  A, maka probabilitas jual saham dinyatakan dengan P(A). Sebaliknya apabila kejadian beli saham adalah B, maka probabilitas beli saham dinyatakan dengan P(B). Dalam mempelajari hukum dasar probabilitas akan dibahas hukum penjumlahan dan hukum perkalian.

Hukum Penjumlahan

Hukum penjumlahan menghendaki peristiwa yang saling lepas atau mutually exclusive yaitu apabila suatu peristiwa terjadi, maka peristiwa lain tidak dapat terjadi pada saat bersamaan. Apabila kejadian menulis berita P(A) , maka kejadian menyiarkan berita P(B) tidak terjadi pada waktu yang bersamaan.

Jika kejadian A dan B saling lepas hukum penjumlahan menyatakan :



 Untuk kejadian yang lebih banyak dilambangkan sampai n, yaitu :

P(A atau B atau ...... n) = P(A) + P(B) +  ........... P(n)

Contoh :
Kegiatan jual-beli saham di BEJ untuk 3 perusahaan perbankan dengan jumlah total sebanyak 200 transaksi.

Dari tabel di atas diketahui bahwa :
P(A) = 120/200 = 0,60
P(B) =   80/200 = 0,40

Sehingga probabilitas A atau B :
P(A atau B) = P(A) + P(B) = 0,6 + 0,4 = 1,0

Peristiwa atau Kejadian Bersama

Contohmya dalam kegiatan jual saham pastilah diketahui saham apa yang dijual atau beli saham, saham apa yang dibeli.  Jadi kegiatannya ada 2 jenis yaitu (a) kegiatan jual saham dan (b) sahamnya adalah saham BCA. Oleh sebab itu ada kegiatan bersama (joint event), seperti kejadian jual saham dilambangkan P(A) dan sahamnya BCA adalah P(D) atau kejadian beli P(B) dan sahamnya BCA P(D).

Probabilitas kejadian bersama dilambangkan P(AD) untuk kejadian jual saham BCA dan P(BD) untuk kejadian beli saham BCA.

Contoh :
Hitung berapa probabilitas  jual saham BCA : P(AD) dan probabilitas beli saham BCA : P(BD) dari Tabel berikut.

Tabel 1. Kegiatan Jual-Beli Saham dari Perusahaan BCA, BLP dan BNI


Kegiatan jual saham dan sahamnya BCA ada 30 transaksi. Kegiatan beli saham dan sahamnya BCA ada 40. Sehingga probabilitas P(AD) dan P(BD) adalah :

P(AD) = 30/200 = 0,15
P(BD) = 40/200 = 0,20
                                   
Diagram Venn

Pada peristiwa bersama dua atau lebih peristiwa, lebih mudah dilihat dengan diagram Venn. Pada diagram Venn terlihat adanya perhitungan ganda yaitu kejadian AD. Kejadian AD tersebut masuk dihitung ke dalam kejadian A dan kejadian D, maka rumus penjumlahan probabilitas dirumuskan sebagai berikut :
Berapa probabilitas kejadian jual saham atau saham BCA : P( A atau D)

P(A atau D) = P(A) + P(D) – P(AD)
= 0,6 + 0,35 – 0,15
= 0,80


Peristiwa Kejadian Saling Lepas ( Mutually Exclusive)

Kejadian saling lepas terjadi apabila hanya satu dari dua atau lebih peristiwa yang terjadi. Dapat digambarkan dengan diagram Venn sebagai berikut : 

Pada diagram Venn terlihat bahwa peristiwa A (jual saham) dan peristiwa B (beli saham ) saling lepas.

P(AB) = 0
Maka P(A atau B) = P(A) + P(B) – P (AB) = P(A) + P(B) - 0                      
                       
P (A atau B) = P(A) + P(B)

Contoh :
Hitung berapa probabilitas kejadian jual saham dan beli saham : P(AB) dan probabilitas kejadian untuk saham BCA, BLP dan BNI  : P(DEF).

Data lihat Tabel 1.
P (A atau B)   = P(A)+ P(B) – P(AB)
= 0,6    +   0,4 -   0
= 1

Hukum Perkalian

Dalam konsep probabilitas, aturan perkalian diterapkan secara berbeda menurut jenis kejadiannya. Ada dua jenis kejadian  yaitu kejadian bebas ( independent event ) dan tak bebas ( dependent event )

Hukum perkalian untuk probabilitas kejadian A dan B yang saling bebas (independen) 
dinyatakan sebagai berikut :
Contoh :
Saudara diminta melemparkan uang logam dua kali ke udara. Berapa probabilitas ke dua lemparan  tersebut menghasilkan gambar ?

Jawab :
Pada lemparan pertama, probabilitas muncul gambar = ½  dan pada lemparan ke dua, probabilitas muncul angka = ½.
Maka P(A dan B) = P(A) x P(B) =   ½    x  ½       = ¼

Probabilitas Bersyarat ( Conditional  Probability)
Probabilitas bersyarat adalah probabilitas suatu peristiwa akan terjadi dengan ketentuan peristiwa yang lain telah terjadi. Probabilitas bersyarat dilambangkan dengan P(A|B) yaitu probabilitas peristiwa A, dengan syarat peristiwa B telah terjadi.

P(A dan B) = P(A) x P(B|A)

Tabel 1. Kegiatan Jual-Beli Saham dari Perusahaan BCA, BLP dan BNI
Contoh : Dengan melihat data pada Tabel 1, berapakah probabilitas terjualnya saham BCA : P( D|A) dan probabilitas saham BCA terjual : P( A|D) ?

Jawab :
Probabilitas terjualnya saham BCA : P( D|A) : Saham BCA yang terjual 30 dan jumlah transaksi jual saham 120 maka P(D|A)  = 30/120 = 0,25

Probabilitas saham BCA terjual : P( A|D)  Jumlah transaksi saham BCA ada 70 dan saham BCA yang terjual ada 30, maka P(A|D) = 30/70 = 0,43

Dari nilai di atas terlihat bahwa probabilitas P(A|D) dan P(D|A) bisa berbeda, namun bisa saja sama.

Peristiwa Pelengkap ( Complementary  Event)

Peristiwa pelengkap menunjukkan bahwa apabila ada dua peristiwa  A dan B yang saling melengkapi, sehingga apabila peristiwa A tidak terjadi, maka peristiwa B pasti terjadi.

P(A) + P(B) = 1 atau P(A) = 1 – P(B)

Dinyatakan dengan diagram Venn sebagai berikut :
Peristiwa A dan B dikatakan sebagai peristiwa komplemen.
Contoh : kegiatan jual beli saham menghasilkan dua hasil yaitu kegiatan jual P(A)  atau kegiatan beli P(B). Apabila diketahui P(A) = 0,8, maka P(B) = 1 – 0,8 = 0,2 

Diagram Pohon Probabilitas

Diagram pohon merupakan suatu diagram yang menyerupai pohon, dimulai dari batang kemudian menuju ranting dan daun. Berguna dalam membantu menggambarkan probabilitas atau probabilitas bersyarat dan probabilitas bersama. Diagram ini sangat berguna untuk menganalisis keputusan-keputusan bisnis dimana terdapat tahapan-tahapan pekerjaan. Tahapan –tahapan tersebut adalah sebagai berikut :
  1. Langkah awal kegiatan, dimulai dengan tanda bulatan dengan angka 1. Tahap 1 diumpamakan sebagai pohon utamanya berupa kegiatan di bursa saham. Nilai probabilitas pada tahap1 adalah = 1.
  2. Membuat cabang . Kegiatan di bursa ada 2 yaitu kegiatan jual dan kegiatan beli saham. Probabilitas jual saham = 0,6 dan probabilitas beli saham = 0,4. Nilai probabilitas pada cabang = 0,6 + 0,4 = 1,0.
  3. Membuat ranting. Pada setiap cabang, baik jual maupun beli ada 3 ranting jenis saham yaitu BCA, BLP dan BNI. Nilai probabilitas setiap ranting = 0,35 + 0,40 + 0,25 = 1,0.
  4. Menghitung probabilitas bersama ( joint probability) antara kejadian pertama A dan B dengan kejadian ke dua D, E dan F. Kita dapat menghitung probabilitas P(D|A) atau P(E|B) secara langsung. Nilai probabilitas keseluruhan pada tahap 4 juga harus sama dengan 1,0.

Beberapa Prinsip Menghitung

Beberapa prinsip menghitung yang bermanfaat dalam mempelajari probabilitas yaitu Faktorial, Permutasi dan Kombinasi .
    
Faktorial

Faktorial digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu dalam suatu kelompok  Contohnya adalah  berapa cara menyusun urutan ke tiga bank BCA, BLP dan BNI ? Urutan ke tiga bank tersebut adalah :
Jadi ada 6 cara untuk mengurutkan nama bank.

Pola untuk menjawab pertanyaan tersebut adalah  untuk meletakkan urutan pertama dari 3 bank, saudara mempunyai 3 pilihan yaitu BCA, BLP atau BNI. Apabila urutan pertama saudara tentukan BCA  maka urutan ke dua tinggal 2 pilihan yaitu BLP dan BNI. Apabila urutan ke dua memilih BLP maka urutan ke tiga hanya ada satu pilihan yaitu BNI.

Dengan demikian banyaknya urutan adalah perkalian dari pilihan tersebut yaitu  3 x 2 x 1 = 6.  Dengan demikian mudah untuk mengetahui berapa banyak cara yang mungkin dalam memilih presiden dari 5 pilihan yang ada.

Dalam matematika perhitungan tersebut dikenal dengan “faktorial” yang biasa dilambangkan dengan (!), yang perlu diketahui bahwa 0! didefinisikan dengan 1, sedangkan

n!  = n x (n – 1 ) x ( n – 2 )x ( n – 3 )x ( n – 4 ) x …………. 1.

Contoh :
Ada berapa cara menyusun urutan  dari 5 perusahaan yang memberikan dividen yang terbesar ?
Penyelesaian :
Menyusun urutan 5 perusahaan = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 cara

Permutasi

Permutasi digunakan untuk mengetahui sejumlah kemungkinan susunan ( arrangement) jika terdapat satu kelompok obyek. Pada Permutasi ini kita berkepentingan dengan susunan atau urutan dari obyek. Permutasi dirumuskan sebagai berikut :  
Keterangan :
P : Jumlah permutasi atau cara obyek disusun
n : Jumlah total obyek yang disusun
r : Jumlah obyek yang digunakan pada saat bersamaan, jumlah r dapat  sama dengan n atau lebih kecil 
! : tanda dari faktorial

Contoh : 1
Ada berapa susunan yang mungkin dari 3 bank yang ada, apabila tiap susunan terdiri dari 2 bank.
Penyelesaian:
Susunan tersebut adalah :
BCA  BLP,  BCA  BNI,  BLP  BCA,  BLP  BNI,  BNI  BCA,  BNI  BLP

Contoh : 2
Apabila ada 20 perusahaan yang memberikan dividen tahun 2003 dan disusun berdasarkan kinerja perusahaan dimana tiap kelompok terdiri 5 perusahaan, ada berapa cara susunan perusahaan tersebut.
Penyelesaian :
Kombinasi

Kombinasi digunakan apabila kita tertarik pada berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan obyek tanpa memperhatikan urutannya. Misalkan ada 10 bank dan kita hanya mengambil 3 bank, maka ada berapa kombinasi bank yang dapat diambil tanpa memperhatikan urutannya atau susunannya .

Catatan : Apabila dalam permutasi dibedakan susunan seperti BCA  BNI dengan BNI  BCA, maka dalam kombinasi tidak dibedakan susunannya sehingga susunan BCA  BNI dianggap sama dengan BNI  BCA.

Jumlah kombinasi dirumuskan sebagai berikut :
Contoh 3.
Ada 5 bank yang mengajukan kredit portofolio ke Bank Indonesia . Sementara itu Bank Indonesia hanya akan memilih 2 bank saja . Ada berapa kombinasi bank yang dapat dipilih oleh bank Indonesia ?

Penyelesaian :
nCr = n! / r!(n - r)!
= 5!/2!(5-2)!  =  5!/2!x3! = 5x4x3!/2x1x3!
= 5x2 = 10

Jadi ada 10 kombinasi dan probabilitas setiap kombinasi terpilih adala 1/10

Misalkan nama Bank  adalah A, B, C, D, E  maka  10 kombinasinya adalah :


Daftar Pustaka

  • Sudjana. 1991. Statistika untuk Ekonomi dan Niaga. Tarsito. Bandung.
  • Suharyadi dan Purwanto, S.K. 2003. Statistika untuk Ekonomi dan Keuangan Modern.Buku Salemba Empat. Jakarta.hal.200 – 226
  • Supranto, J. 2000. Statistik Teori dan Aplikasi. Edisi 6. Erlangga. Jakarta.hal. 308 – 323
  • Walpole, R.E. 1995. Pengantar Statistika. Ed.3. Gramedia. Jakarta. Hal. 238 – 257.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar